Boltzmann-fordelingen

Ikke at forveksle med Maxwell-Boltzmann-fordelingen.

Boltzmann-fordelingen beskriver sandsynligheden for, at et fysisk system er i en given tilstand. Sandsynligheden $p$ for at et system er i en tilstand med energien $\varepsilon$ er proportional med en eksponentialfunktion:

$p\propto e^{-{\frac {\varepsilon }{k_{B}T}}}$

hvor $T$ er systemets temperatur, $k_{B}$ er Boltzmanns konstant, og $e^{-{\frac {\varepsilon }{k_{B}T}}}$ kaldes Boltzmann-faktoren. Det ses, at høje energitilstande er mindre sandsynlige, men det er kun, når temperaturen er nul, at systemet udelukkende kan være i den laveste energitilstand.

For et system med $M$ diskrete energitilstande bliver den normerede sandsynlighed $p_{i}$ for at være i energitilstanden $\varepsilon _{i}$ altså:

$p_{i}={\frac {e^{-{\frac {\varepsilon _{i}}{k_{B}T}}}}{Z}}$

hvor nævneren kaldes for tilstandssummen,

$Z=\sum _{j}^{M}e^{-{\frac {\varepsilon _{j}}{k_{B}T}}}$

som sørger for, at summen af sandsynligheder er 1.

Boltzmann-fordelingen er central i den statistisk mekanik. Fordelingen er den klassiske grænse til den kvantemekaniske Fermi-Dirac-fordeling og Bose-Einstein-fordeling.

Udledning

Boltzmann-fordelingen kan udledes på flere forskellige måder, der komplementerer hinanden. I det følgende benyttes termisk ligevægt og Gibbs' entropiformel.