Shannon-Hartley-Gesetz

Das Shannon-Hartley-Gesetz beschreibt in der Nachrichtentechnik die theoretische Obergrenze der Bitrate eines Übertragungskanals in Abhängigkeit von Bandbreite und Signal-Rausch-Verhältnis, über den mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eine fehlerfreie Datenübertragung möglich ist. Es ist nach Claude Elwood Shannon und Ralph Hartley benannt.

In der Praxis wird die erzielbare Bitrate von Eigenschaften wie der Kanalkapazität und von Verfahren wie der Kanalkodierung beeinflusst. Das Shannon-Hartley-Gesetz liefert das theoretische Maximum, das mit einer hypothetischen optimalen Kanalkodierung erreichbar ist, ohne darüber Auskunft zu geben, mit welchem Verfahren dieses Optimum zu erreichen ist.

Einführung

Über einen perfekten (d. h. störungsfreien) Übertragungskanal könnte man theoretisch Daten in unbegrenzter Menge übertragen. Da aber real existierende Kanäle sowohl in ihrer Bandbreite begrenzt als auch Störungen wie Einstreuungen, thermischem Rauschen, endlichem Widerstand des Leiters usw. unterworfen sind, ist die maximal mögliche Übertragungsrate begrenzt. Die Übertragungsrate wird durch die folgenden beiden Faktoren begrenzt:

1. Die Bandbreite des Übertragungsweges bestimmt die maximal mögliche Symbolrate, also wie viele einzelne Symbole in einer gegebenen Zeitspanne sicher übertragen werden können.
2. Die Stärke der auf dem Übertragungsweg entstandenen bzw. eingefangenen Störungen, beschrieben durch das Signal-Rausch-Verhältnis, begrenzt den maximalen Informationsgehalt eines Symbols, d. h., wie viele unterschiedliche Symbole am Empfänger noch sicher unterschieden werden können.

Vereinfachend gesagt bestimmt die Bandbreite, wie oft bei der Übertragung durch ein Kabel die Spannung in einer gegebenen Zeitspanne geändert werden kann, und das Signal-Rausch-Verhältnis, wie viele verschiedene Spannungspegel dabei beim Empfänger noch sicher unterschieden werden können.

Präziser drückt das Shannon-Hartley-Gesetz den Umstand aus, dass bei einem durch Störungen wie Rauschen gestörten Übertragungskanal eine mittels Kanalcodierung erzielbare fehlerfreie Datenübertragung mit einer Wahrscheinlichkeit von δ > 0 möglich ist, wenn die realisierte Bitrate C_R kleiner als die durch das Shannon-Hartley-Gesetz gebildete Grenze C_S ist. Ein Merkmal ist dabei, dass dabei keine Aussage getroffen wird, mit welcher konkreten Kanalcodierung oder welchem technischen Verfahren dieser Fall erreicht werden kann. Liegt die realisierte Bitrate C_R über der Grenze von C_S, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Fehlerfreiheit δ = 0, was bedeutet, dass unabhängig von den eingesetzten Verfahren keine fehlerfreie Datenübertragung möglich ist.

Mathematische Beschreibung

Rauschfreier Übertragungskanal

Die maximale Datenübertragungsrate C_N bei einem störungsfreien Übertragungskanal mit der Bandbreite B ist gegeben durch:

$C_{N}=2\cdot B$

Die Bandbreite B wird in Hertz angegeben, die Datenübertragungsrate in Symbole pro Sekunde (Baud).

Bei binärem Symbolalphabet mit nur zwei Zeichen ist die Bitrate, gemessen in bit/s (bps), gleich der Symbolrate, gemessen in Baud. Stehen L Symbole zur Verfügung, lassen sich ld(L) Bits pro Symbol darstellen:

$C_{N}=2\cdot B\cdot \mathrm {ld} (L),$

wobei der Ausdruck ld(·) den Logarithmus zur Basis 2 bezeichnet.

Beispiel: Bei einer Bandbreite von 1000 Hz können maximal 2000 baud übertragen werden. Bestehen die Symbole aus einem Bit, z. B. „0“ oder „1“, erreicht man eine Datenrate von 2000 bit/s. Handelt es sich um 26 Zeichen des deutschen Alphabets (ohne Sonderzeichen), ist die Datenrate mit 9400 bit/s um den Faktor ld(26) größer. Durch Wahl hinreichend vieler unterschiedlicher Symbole kann auf einem rauschfreien, bandbegrenzten Übertragungskanal eine beliebig hohe Bitrate erzielt werden.

Übertragungskanal mit Rauschen

Claude Shannon verallgemeinerte dieses Theorem. Für einen mit additivem weißem gaußschem Rauschen gestörten Kanal, abgekürzt AWGN-Kanal, nimmt das Shannon-Hartley-Gesetz folgende Form an:

$C_{S}=B\cdot \mathrm {ld} \left(1+{\frac {S}{N}}\right)=B\cdot \mathrm {ld} \left(1+{\frac {S}{N_{0}\cdot B}}\right)$

C_S stellt die (bei diesem Kanalmodell) maximal mögliche Bitrate (Bits pro Sekunde) dar, S die Signalleistung. Der Parameter N stellt die spektral konstante Rauschleistung dar, das Verhältnis S/N wird auch als Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) bezeichnet. Die Rauschleistung N kann auch durch die Energie der Rauschleistungsdichte N₀ über die Bandbreite B ausgedrückt werden.

Die maximal mögliche Bitrate stellt eine obere Grenze unter der Voraussetzung von weißem Rauschen dar. Bei Kanalmodellen, die nicht dem AWGN-Kanal entsprechen, wie auch bei unterschiedlichen spektralen Rauschleistungsdichten ergeben sich andere Zusammenhänge.

Beispiel: Über eine Leitung mit dem SNR von 20 dB lassen sich bei einer verfügbaren Bandbreite von 1000 Hz maximal 6,7 kbit/s übertragen.

Rechnung:

1. Umwandlung von SNR in S/N: SNR = 10 · log₁₀(S/N) → 20 dB = 10 · log₁₀(x) ↔ 2 dB = log₁₀(x) ↔ 10² = x ↔ x = 100 → S/N = 100
2. Berechnung der Übertragungskapazität: C_S = f_max · log₂(1 + S/N) = 1000 Hz · ln(1 + 100) ÷ ln(2) bit = 1000 · ln(101) ÷ ln(2)